Coz, powiem na przykladzie S2 i telewizora Sony...
Po podpieciu (oryginalnej - dostalem to korzystam : P) przelotki MHL (HDMI oraz zasilanie do przelotki, a kabel od przelotki do telefonu) i przelaczeniu obrazu w TV na wlasciwy HDMI - wszystko dziala wlasciwie lopatologicznie.
Jedynie mozna zmienic tryb na "game" czy tam "gaming" albo podobny - taki z szybkim przesylem na TV (czy tez odswiezaniem, lub cos w tym stylu ; ) w ustawieniach TV - jesli chce sie pograc w jakies gry patrzac na TV, a nie na komorke, bo inaczej jest lag w wyswietlaniu na TV. Maly, ale wystarczajacy w przypadku gier akcji.
Generalnie...
Zorientuj sie, do jakiego portu HDMI podlaczasz przelotke - i ustaw na sztywno obraz na ten HDMI w TV.
Podlacz zasilanie do przelotki i upewnij sie, ze telefon sie laduje (ot, samo podpiecie zasilania bardziej niz ladowanie..).
Pytanko - korzystasz z oryginalnej przelotki do Galaxy S III, czy innego typu?
Samsung dal ciala, bo nawet oryginalne przelotki do Galaxy S II nie dzialaja - maja inny uklad PINow.
Co do ostatniej kwestii - telefon po podpieciu do TV powinien wyswietlac jak najbardziej swoj "pulpit", menu aplikacji jesli do nich wejdziesz.. prawie wszystko (oprocz zablokowanego ekranu na pewno ; )